Néhány skypeolást is elmentek az éppen aktuálisakból.

 

[16:04:54]  -  Figyelj csak, a nejem kérdezi, hogy jó-e neked ma este a szvinger vagy sem?
[16:06:13] - Lájder verséje ih niht

[16:07:21] - Izgi a vizsga?

[16:08:41] - Inkább segítsél, hogy R-ben hogyan kell gamma eloszlást számolni ...

[16:11:49] - Az első eloszlascsalad, amivel foglalkozni szeretnek, az a gamma-eloszlas, ennek elsősorban az az oka, hogy ha a valoszinűsegi valtozoink gamma-eloszlasuak, akkor az osszeg is gamma-eloszlasu lesz. Mindez nagyon konnyen belathato, ha tekintjuk a gamma-eloszlas sűrűsegfuggvenyet (1.1 definicio). Az osszeg eloszlasanak vizsgalatahoz szuksegunk lesz a konvolucios formulara.

Állítás (konvolucios formula): Ha X, Y fuggetlen, abszolut folytonos eloszlasu valoszinűsegi valtozok, akkor X+Y is abszolut folytonos eloszlasu, es
sűrűsegfuggvenye:
f X+Y  x=∫
−∞

f X  y  f Y  x−y  dy=∫
−∞

f X  x−y  f Y  y  dy
Felhasznalva a konvolucios formulat ket azonos, p rendű es λ parameterű gamma eloszlasu valoszinűsegi valtozora:
f X+Y=
∫0

λ p y P−1e−λy λ p  x−y p−1e−λ x−y 
Γ2  p 
dy= λ2p e−λx
Γ 2  p∫
0
x
y p−1  x−y p−1dy

Ekkor a jobb oldalon szereplő integralnak meg tudjuk mondani a pontos erteket, mert az nem mas, mint a Beta-eloszlas sűrűsegfuggvenyenek egy Β(P,P)-vel valo nyujtasa. Mivel tudjuk, hogy egy abszolut folytonos Y valoszinűsegi valtozo
sűrűsegfuggvenyet az Y ertelmezesi tartomanyan integralva 1-et kapunk, ezert ennek az integralnak az erteke:

B p,p=
Γ  p Γ  p
Γ 2p

ami az ugynevezett Beta-fuggveny. Ezt visszairva az eredeti egyenletbe:


f x+y= λ2p e−λx x2p−1
Γ 2p
es pont ezt szerettuk volna belatni.

Tehat a kozos eloszlas λ parameterű es 2p rendű, igy indukcioval belathato, hogy n darab azonos rendű es parameterű gamma-eloszlasu valoszinűsegi valtozonak az osszege is gamma-eloszlasu, λ parameterű, np rendű valoszinűsegi valtozo lesz. Ez lenyegesen megkonnyiti a dolgunkat, elvegre nem is kell szimulalni szamitogeppel az osszeget. A vizsgalat megkezdese előtt ellenőriznunk kell, hogy a centralis hatareloszlas-tetelben szereplő feltetelek teljesulnek-e, azaz a szorasnegyzet veges
lesz-e.

E2 X = p
λ2

Ami nem lehet vegtelen, mivel λ es p egyarant pozitivak, igy most mar tenylegesen megkezdhetjuk a vizsgalatokat.

A valoszinűsegi valtozok osszegenek a vizsgalatara egy egyszerű algoritmus adta magat. Vegyuk egy adott intervallum ekvidisztans felosztasat. A felosztashoz tartozo ertekekhez rendeljuk a megadott parameterekkel rendelkező gamma-valoszinűseget (termeszetesen ezt standardizalva szorassal es varhato ertekkel). R-ben programozva a megfogalmazott algoritmus az alabbi eredmenyeket adja kulonboző szamu fuggetlen, azonos parameterű, standardizalt gamma-eloszlasu valoszinűsegi valtozok
 

Tehat meg kell vizsgalnunk, hogy a fentebb emlitett konvergencia hogyan fugg az ntől, azaz a fuggetlen azonos eloszlasu valoszinűsegi valtozok szamatol. Mint mar a bevezetőben emlitettem, erre kettő darab kezenfekvő lehetőseg van. Elsőkent, ha vesszuk a supremumat az ekvidisztans vektorban szereplő elemekhez tartozo normalis es gamma valoszinűsegek kulonbsegenek abszolut erteket. Masodszor, ha a ket grafikon altal kozrezart teruletet merjuk le. Ezt ugy tehetjuk meg a legegyszerűbben, ha felhasznaljuk azt a vektort, amibe beleirtuk a normalis es a gamma-eloszlas kulonbseget. Tovabba felhasznalhatjuk azt a tenyt, hogy a pontok, amiket vizsgaltunk, egy intervallum ekvidisztans felosztasa, igy a kozrezart teruletet kozeliteni tudjuk trapezokkal. Ekkor ezen eredmenyeket abrazolhatjuk n
fuggvenyeben es az alabbi abrakat kapjuk n=100-re (azaz 2 es 100 kozotti fuggetlen valoszinűsegi valtozok osszegere vonatkozo elteresek):
 

Supremumok alakulasa n fuggvenyeben:
 

Eloszlas-gorbek altal kozrezart terulet alakulasa n fuggvenyeben:


Szemmel lathatoan igazolodik a centralis hatareloszlas-tetel, a ket gorbe n-et
novelve valoban 0-hoz fog tartani. Tovabba ugy tűnik, hogy a ket gorbe alakja
egeszen hasonlo, habar egyszerre abrazolva őket a supremumok alakulasat
szemleltető abra a teruleteket reprezentalo abra alatt lesz.


Kovetkező lepesben hasonlitsuk ossze a kapott eredmenyt a Berry-Esseenegyenlőtlenseg
altal biztositott felső korlattal. Előtte azonban ellenőriznunk kell,
hogy a harmadik abszolut momentum veges lesz-e.

Állítás: Legyen X gamma-eloszlasu valoszinűsegi valtozo, ekkor:

E∣X3∣=
Γ  pk 
Γ  p λk

Bizonyítás: Mivel gamma-eloszlashoz tartozo sűrűsegfuggveny abszolut folytonos

es pozitiv, ezert:
E X k =∫0
∞ λ p x pk−1 e−λx
Γ  p
dx=
Γ  pk 
Γ P λk∫
0
∞ λ p x pk−1 e−λx
Γ  pk 
dx
ahol a jobb oldalon szereplő integralon belul egy sűrűsegfuggveny van ( λ es p+k parameterű, gamma eloszlase), igy annak erteke 1, igy pont azt kapjuk eredmenyul, amire szuksegunk volt.

A k helyere 3-at helyettesitve arra jutunk, hogy a harmadik abszolut momentum minden parameter mellett pozitiv lesz. Igy nincs mas dolgunk, mint a harmadik abszolut centralt momentumat kiszamolni a gamma-eloszlasnak, majd alkalmazni a Berry-Esseen-egyenlőtlenseget:


Amint az a 2.4-es abrarol kivehető, A Berry-Esseen tetel altal biztositott felső korlat
ebben az esetben joval meghaladja a tenylegesen mert ertekeket. Vizsgaljuk meg, hogy a parameterek valtoztatasaval a konvergencia hogyan is modosul. Első esetben legyen p=2, es valasszuk λ parameter erteket 1.3; 10, 50, 100 -nak, ezeket az abran jeloljuk rendre fekete, piros, zold es kek szinekkel. Ilyen modon kapott supremumgorbek:

Hogy csak egy kek szinű gorbet latunk, az azt jelenti, hogy a gorbek egymast
takarjak le. Mivel a λ=100 esetet vizsgaltam utoljara, a neki megfelelő kek szin
maradt folul. Ebből azt a kovetkeztetest vonhatjuk le, hogy a standard normalis eloszlashoz valo konvergenciaja a gamma-eloszlasnak nem fugg a λ parameter megvalasztasatol. Ezzel szemben ha rogzitjuk λ erteket, akkor szamitogep nelkul is belathato, hogy a p ertekenek novelesevel aranyosan nő a konvergencia sebessege is.
 

Amint mar korabban lattuk, (λ,p) parameterű, gamma-eloszlasu valoszinűsegi
valtozok osszege is gamma-eloszlasu lesz (λ,2p) parameterekkel. Igy p ertekenek novelesevel a kiindulo standardizalt eloszlasunk egyre kozelebb kerul a standard normalis eloszlashoz. Nyilvanvaloan a supremum-gorbek is egymas ala fognak esni.


[16:11:57] - Ennyit tudtam most

 


forrás

A bejegyzés trackback címe:

https://eloretolthelyorseg.blog.hu/api/trackback/id/tr72765338

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

ruju 2011.03.23. 19:33:35

Nem lehetne inkább a szvingert? :-)

Nils Holgersonné · http://eloretolthelyorseg.blog.hu 2011.03.23. 22:04:10

@ruju: jah, én sem értem, hogy csúszott így el ez a beszélgetés-

Bp-i 2011.03.26. 12:43:47

Ez eddig rendben, de:

A karakterisztikus
eloszlást ugyan nem tárgyaltuk, de a várható érték és a szórás definíciója alapj
án könnyen belátható, hogy a karakterisztikus eloszlású valószínûségi változó várható értéke
M p i ( )  , szórása pedig D( ) p(1 p) i    , i = 1, 2, …, n, ahol p a vizsgált véletlen esem
ény bekövetkezési valószínûségét jelöli.

Tuskó Hopkincs 2011.04.09. 09:36:36

Ja, a szvingerre még visszatérhetünk :-)!